矢量分析在场论中非常重要,而三个基本算子(梯度、散度与旋度)又是构成各种复杂关系式的基础,下面逐一介绍,应特别注意散度与旋度的基本定义。对于矢量恒等式,在此列出是为了使用时查找方便,具体推导利用张量表示易得。
1.梯度(Gradient)
梯度在数值计算中有着非常广泛的应用,如共轭梯度法,梯度下降法与梯度上升法等,在三维直角坐标系中,某个场
梯度物理意义为:在某个场中,某点的某物理参数增加最快的方向,梯度大小就是增加率。举个例子,我们站在山脚爬山时(此山只有一个山峰),我们迈步第一步的方向有无数个,若想走最短路程到达山顶,此时应沿梯度方向迈出,以此类推,直至到达山顶。从此爬山过程易得,若某点梯度为
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除了标量场具有梯度,矢量场也具有梯度。矢量场的梯度将这个矢量线性映射到了另一个矢量,因此对矢量场的梯度是一个张量。在直角坐标系中,若存在矢量场
则该矢量场的梯度为:
2.散度(Divergence)
散度与通量相关,其在电磁学中有着非常广泛的应用,矢量场
其中,体积V为包含点
某点散度代表了该点向外的通量体密度,其物理意义可以理解为:定量给出向量场中任一点是否为源点或汇点。若某点散度等于0,则说明其通量为0,流进=流出;若某点散度大于0,说明流出>流进,相当于一个源点(source);若某点散度小于0,说明流出<流进,相当于一个汇点(sink)。
应用:流体力学中不可压缩条件为:速度场的散度为0。注意此处的推导过程为,不可压缩意味着密度为常数,根据欧拉描述下(基于场的描述)质量连续性方程:
由于密度为常数,因此其对时间的全导数应为0,因此得出速度的散度为0。
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在三维直角坐标系中,散度计算公式为:
散度还有一个非常重要的定理,即散度定理(divergence theorem),也叫高斯定理(Gauss's theorem),应用极其广泛,其将面积分与体积分联系起来。关于散度定理的证明,由散度定义式易得。
3.旋度(Curl)
旋度与环量(circulation)联系紧密,其在流体力学中有着广泛的应用,其定义为:
这个式子代表:矢量场
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在三维直角坐标系中,旋度的计算为:
旋度中有个重要的Stokes' theorem,将线积分与面积分联系起来:
此处,应注意线积分的方向是逆时针。
在连续介质力学中,有个常用关系式,即速度的旋度等于角速度的两倍。在流体力学中,这个量叫涡量(Vorticity),应注意不能用涡量来判断是否有漩涡(vortex),即有漩涡,其涡量可能等于0,也可能不等于0。
证明:
最后指出一点:一个旋度为0的矢量场被称为“无旋的”,如纵波传播被称为“无旋波”;散度为0被称为“等容的”,如横波传播被称为“等容波”,表明在传播过程中体积不变。
4.矢量分析中常用恒等式
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)兰姆矢量:
11)Helmholtz decomposition:
前提:
(1)~(10)式用张量表示进行推导特别简单,见本专栏《什么是张量》中对1)式的推导。
Hsuty:什么是张量(tensor)?zhuanlan.zhihu.com5.重要方程
1)流体力学,对不可压缩理想流体,Navier-Stokes equations:
这实质为牛顿第二定律,等号左边为ma(惯性力),右边为F。
第“1”项括号中的式子代表加速度,此加速度是速度的全导数,即物质导数(速度是时间与位置的函数)。第“2”项为单位质量流体压力梯度;第“3”项为剪切粘性项;第“4”项为单位质量体积力。其中,对流加速度项
推导物质导数:
在三维直角坐标系中,
该方程解的存在性与光滑性还未得到证明,这也是七个千禧年大奖难题之一。
2)固体力学,均匀各向同性介质,Lame-Navier equations:
其中,
这个方程实质也是牛顿第二定律,左边是ma,右边是力。
3)电磁学,Maxwell's equation
其中,电场为
一个小故事,Maxwell's equation最初由Maxwell推导得出时具有20个方程,是Heaviside于1885年将其简化到4个方程。更进一步,若用外微分形式,可将散度与旋度统一,此时只需一个方程即可描述麦克斯韦方程组,即: